Как парадоксы раскрывают недостатки логики

Парадоксы долгое время ставили под сомнение наше представление о мире: возможно, нам нужно менее бинарное понимание логики?

Если бы я спросил, является ли Земля шарообразной, большинство читателей ответили бы утвердительно. Только педанты указали бы, что это сплюснутый сфероид, так что технически говоря, согласившиеся с утверждением были бы неправы. Однако они явно не так сильно ошибаются, как те, кто утверждает, что Земля плоская. Существуют степени ложности, которые часто очень важны; возможно, это подразумевает существование и степеней истины. Тем не менее, обычно мы полагаемся на классическую логику, которая предполагает только два значения: истинно и ложно, что может приводить к парадоксам, когда любой из вариантов ведет к противоречию.

Логика, по одному из определений, – это «метод рассуждения, включающий ряд утверждений, каждое из которых должно быть истинным, если истинно предыдущее утверждение». Сформулированная таким образом, логика кажется безупречной. Любые ошибки могут возникать только из-за того, что исходное утверждение неверно или одно из последующих утверждений не является универсальным, как заявлено.

Когда мы говорим о «неверной логике», мы обычно подразумеваем одно из двух: кто-то начинает с неверного предположения и строит на этом шатком фундаменте целую кучу выводов. Это эквивалент принципа «мусор на входе – мусор на выходе», когда ошибки компьютера – не вина системы, а данных, которыми ее накормили. Или же исходная предпосылка верна, но в какой-то момент одно из нескольких возможных следствий было принято за единственно возможное.

Решение для обоих типов ошибок очевидно, хотя и не всегда легко реализуемо. В первом случае нам просто нужно лучше проверить наши предпосылки. Во втором случае нам нужно проверить каждый шаг, чтобы убедиться, что он так же безупречен, как заявлено.

Однако тысячи лет назад греческие философы бросили более фундаментальный вызов логике в форме парадоксов. Парадоксы, несомненно, существовали и гораздо раньше, но именно такие мыслители, как Зенон Элейский, дали нам как само название, так и укрепили идею о самопротиворечивых выводах из, казалось бы, здравых предпосылок как вызов природе реальности.

Первоначально парадоксы (насколько нам известно) создавались для того, чтобы подвергнуть сомнению наше чувство реальности, а не для того, чтобы ставить под сомнение логику. Многие парадоксы, как оригинальные, так и более поздние, в конечном итоге оказались вполне логично разрешимыми, просто эти решения не были очевидны в то время. Другие же представляют собой более глубокую проблему.

Согласно одному из определений, парадокс – это «аргумент, который, по-видимому, приводит к самопротиворечивым выводам путем правильного дедуктивного вывода из приемлемых посылок».

Нарушение бинарности

Другие парадоксы, однако, представляют собой более фундаментальный вызов, достаточный для того, чтобы поставить под сомнение логику в ее основе. Эти парадоксы, известные как антиномии, противоречат не только нашим наблюдениям, но и своей внутренней логике.

Некоторые, а возможно, и все антиномии возникают из бинарного взгляда на мир. Например, один из самых известных, парадокс лжеца, включает в себя такие примеры, как «Это утверждение ложно». Если мы верим, что вещи могут быть только истинными или ложными, как единицы и нули в компьютере, то утверждение генерирует своего рода рекурсивную петлю, которая очаровывала людей на протяжении веков.

Однако некоторые философские традиции, особенно азиатские, более комфортно воспринимают идею о том, что истина может быть спектром, чем европейские, которые в значительной степени опираются на классическую Грецию.

За столетия до того, как Аристотель формализовал правила логики, на которые в большинстве своем опирается Запад, джайны развивали доктрину анекантавады, согласно которой все утверждения содержат в себе как истину, так и ложь.

Можно утверждать, что развитие квантовых компьютеров, в которых суперпозиции единицы и нуля в меняющихся соотношениях заменяют двоичные биты, подтвердило эти альтернативные взгляды.

В основе многих логических парадоксов лежит убеждение, что что-то является либо одним, либо другим. Это представление почти полностью разрушается на субатомном уровне, где фотоны являются одновременно и частицами, и волнами, но оно не всегда так хорошо работает в более привычных контекстах, как может проиллюстрировать начальный пример с формой Земли.

Знаменитый вопрос о том, наполовину полон или наполовину пуст стакан, намекает на другой пример. Оба варианта верны, но в какой момент мы можем убрать слово «наполовину» и сказать: «Мой стакан пуст»? Должен ли он быть абсолютно сухим, или нескольких капель все еще достаточно, чтобы считать его «пустым»?

Нечеткая логика была изобретена, чтобы попытаться уловить эту сложность, позволяя значению истинности высказывания находиться где-то между единицей и нулем.

Можно утверждать, что фактическое принятие решений человеком больше похоже на нечеткую логику, чем на булеву логику единиц и нулей.

Однако, несмотря на то, что нечеткая логика используется в искусственном интеллекте и анализе медицинских изображений, среди прочего, она и близко не подошла к вытеснению классической версии в большинстве образовательных систем и приложений.

Возможно, это связано с тем, что укоренившиеся культурные традиции очень трудно изменить. С другой стороны, можно утверждать, что у традиционной логики все еще есть много преимуществ.

Разрешенные парадоксы – победы логики?

Парадоксы бывают разных форм, и не все они представляют проблему для логики; на самом деле, многие из них ее подтверждают. Противоречия парадоксов чаще возникают с наблюдаемой реальностью, чем с ними самими, и они часто разрешаются путем сочетания логики с более глубоким исследованием.

Например, некоторые парадоксы оказались полезными способами показать, что реальность сложнее наших наивных представлений. Другие включают в себя своего рода ловкость рук, например, деление на ноль, чтобы «доказать», что 1=2.

Один из первоначальных парадоксов, представленных Зеноном (в пересказе Аристотеля и других), представлял собой крайне несправедливую гонку между Ахиллом и черепахой. Ахиллес великодушно дает своему сопернику-рептилии фору. Мы знаем, что если гонка достаточно длинная, этого будет недостаточно, и более быстрый бегун в конце концов обгонит более медленного.

Однако, утверждал Зенон, к тому времени, как Ахиллес достигнет точки, с которой стартовала черепаха, черепаха уже продвинется вперед, и к тому времени, как Ахиллес преодолеет это второе расстояние, черепаха продвинется еще на меньшее расстояние. Ахиллес постоянно приближается к черепахе, но, согласно этой точке зрения, никогда не сможет ее обогнать.

Аристотель дал ответ, но опасения, что он неадекватен, способствовали развитию изучения бесконечных рядов, которое оказалось исключительно ценным для науки.

Не всех устраивают такие математические решения, некоторые видят в этом все еще нерешенную метафизическую проблему. Тем не менее, классическая логика выходит из такого испытания довольно хорошо — она не только не дискредитирована, но и привела нас к чему-то истинному и полезному.

Точно так же парадокс темного ночного неба был использован для доказательства того, что Вселенная не бесконечна, хотя с тех пор мы узнали, что она расширяется.

Есть и другие парадоксы, для которых у нас пока нет полных решений, но ученые активно работают над этим. Например, парадокс слабого молодого Солнца отмечает, что звезды с массами, подобными Солнцу, излучают меньше тепла и света в первые миллиарды лет, чем на нынешнем этапе жизни Солнца. Следовательно, первоначальная формулировка парадокса заключалась в том, что Земля должна была быть намного холоднее в течение хадейского эона, что препятствовало бы наличию жидкой воды.

Тем не менее, мы знаем, что океаны Земли появились 4,4 миллиарда лет назад. Более высокая концентрация углекислого газа, а следовательно, и более сильный парниковый эффект, в значительной степени решили эту проблему для Земли, но она продолжает беспокоить исследователей Марса. Объяснение того, какие газы могли составлять марсианскую атмосферу в Нойскую эру и куда они делись, является актуальной проблемой, но мы можем обоснованно ожидать ее решения, не отбрасывая законы логики.

Возможно, нам нужно слово (например, метапарадокс) для обозначения того факта, что парадоксы могут как выявлять недостатки классической логики, так и демонстрировать ее силу.

Читайте также: Боги Логики: восхождение искусственного интеллекта